Geld eingefordert ohne entsprechende Gegenleistung/fehlende Rechnung

Am 10.05. wurde ein Termin mit dem Lernstudio Barbarossa in Berlin-Spandau vereinbart. Mein Sohn Jason bat mich am 11.05.21, ihn zum Lernstudio Barbarossa zu begleiten. Dort erklärte er der Studioleiterin seinen Wunsch nach einer Nachhilfe, die ihn auf die mdl. Abiturprüfung in Mathematik vorbereiten soll. Sie sagte dies zu und füllte daraufhin ein Formular „Anmeldung Nachhilfe und Förderung“ aus, welches die notwendigen Daten umfasst.
Die Felder SEPA-Lastschriftmandat blieben offen, weil ich meine Bank-Karte nicht dabei hatte. Die Leiterin meinte dann, dies sei kein Problem, ich könne auch die Gesamtsumme von 750,00 Euro am gleichen Tag von zuhause überweisen. Vorher könne keine Nachhilfe erfolgen. Also überwies ich die Summe am Nachmittag desselben Tages.

Daraufhin erhielt mein Sohn Jason die Nachricht, dass er am Freitag, 14.05. seine erste Stunde digital online erhält. Nach dieser Doppelstunde, die auf den Mathematikstoff der letzten beiden Jahre Bezug nahm, war Jason mehr verunsichert als vorher. Er wolle nicht weitermachen, weil er eine Vorbereitung auf die mdl. Prüfung angefragt hatte und nicht Stoff-Repetitorium der Oberstufe. Dem Nachhilfelehrer wurde daraufhin abgesagt.

Mein Sohn fand dann eine andere, für ihn und seinen Lernbedarf bessere Lösung mit einem Mathe-Studenten, der ihn innerhalb 7 Tagen gezielt vorbereitete. Seine Prüfung bestand Jason übrigens am 29.05.21 mit guter Leistung.

Wenn wir für die o. a. Doppelstunde bei Barbarossa 70 Euro plus Anmeldegebühr in Höhe von 50 Euro begleichen, dann würde ich die Summe von 120 Euro beanstandungslos als fair akzeptieren.
Aber für faktisch nicht erbrachte Leistungen 630 Euro einzubehalten ist m. E. unseriös und fern jeden üblichen Geschäftsgebarens.

Bis jetzt habe ich trotz Anmahnung übrigens auch keine Rechnung des Lernstudios erhalten. Ist das überhaupt rechtlich erlaubt? Wie wurde die Summe dort verbucht? Als Spende? Es fehlte ja (abgesehen von einer Doppelstunde) die Gegenleistung. Eine Antwort erhielt ich bis heute nicht.

Ich bitte Sie, hier in unserem Sinne tätig zu werden und sowohl eine Rechnung einzufordern als auch den überzahlten Betrag zurückzufordern. Ich sehe mich außerstande, diese Rechtslage zu beurteilen.
Ich werde den Eindruck nicht los, dass mein 18jähriger Sohn Jason Malone hier übern Tisch gezogen wird.

Können Sie da etwas erreichen?